如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已...
问题详情:
如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
【回答】
【分析】(1)设AB=xm,则BC=(100﹣2x)m,利用矩形的面积公式得到x(100﹣2x)=450,解方程得x1=5,x2=45,然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长;
(2)设AD=xm,利用矩形面积得到S=x(100﹣x),*得到S=﹣(x﹣50)2+1250,讨论:当a≥50时,根据二次函数的*质得S的最大值为1250m2;当0<a<50时,则当0<x≤a时,根据二次函数的*质得S的最大值为50a﹣a2.
【解答】解:(1)设AB=xm,则BC=(100﹣2x)m,
根据题意得x(100﹣2x)=450,解得x1=5,x2=45,
当x=5时,100﹣2x=90>20,不合题意舍去;
当x=45时,100﹣2x=10,
答:AD的长为10m;
(2)设AD=xm,
∴S=x(100﹣x)=﹣(x﹣50)2+1250,
当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1250;
当0<a<50时,则当0<x≤a时,S随x的增大而增大,当x=a时,S的最大值为50a﹣a2,
综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250m2;当0<a<50时,S的最大值为(50a﹣a2)m2.
【点评】本题考查了二次函数的应用:解此类题的关键是通过几何*质确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
知识点:实际问题与一元一次方程
题型:解答题