在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．...
问题详情：
在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH． （1）如图，当AB=BC=8时， ①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求*：AH=CH； ②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式； （2）当AB=6，BC=8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．
【回答】
解：（1）①如图1中， 
∵四边形EFGH是正方形，AB=BC， ∴BE=BG，AE=CG，∠BHE=∠BGH=90°， ∴∠AEH=∠CGH=90°， ∵EH=HG， ∴△AEH≌△CGH（SAS）， ∴AH=CH． ②如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S=t2． 如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S=S△ABC-S△AEN-S△CGM=
×8×8-2×
（8-t）2=-t2+32t-32． 
综上所述，S=
． （2）如图3-1中，延长AH交BC于M，当BM=CM=4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分． 
∵EH∥BM， ∴
=
， ∴
=
， ∴t=
． 如图3-2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM=DM=3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易*AD=CK=8， 
∵EH∥BK， ∴
=
， ∴
=
， ∴t=
． 如图3-3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM=DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易*AD=CN=8． 
在Rt△ABC中，AC=
=10， ∵EF∥AB， ∴
=
， ∴
=
， ∴EF=
（16-t）， ∵EH∥CN， ∴
=
， ∴
=
， 解得t=
． 综上所述，满足条件的t的值为
s或
s或
s． 【解析】
（1）①如图1中，*△AEH≌△CGH（SAS）即可解决问题． ②分两种情形分别求解：如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN． （2）分三种情形分别求解：①如图3-1中，延长AH交BC于M，当BM=CM=4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．②如图3-2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM=DM=3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．③如图3-3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM=DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的*质，全等三角形的判定和*质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
知识点：各地中考
题型：解答题
