已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S...

问题详情：

已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和Sn，则S10=（　　）

A． 45 B． 55 C． 90 D． 110

【回答】

C

考点： 数列的求和；分段函数的应用．

专题： 函数的*质及应用；等差数列与等比数列．

分析： 由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得*．

解答： 解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，

当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，

当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，

当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，

以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，

∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），

由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．

将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，

取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．

即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；

当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；

以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：

3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；

综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：

0，2，4，…，

其通项公式为：an=2（n﹣1），前10项的和为S10=．

故选：C．

点评： 本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题．

知识点：数列

题型：选择题