若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点,求常数k的取值范围.
来源:语文精选馆 2.09W
问题详情:
若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点,求常数k的取值范围.
【回答】
解 f(x)=2x3-6x+k,
则f′(x)=6x2-6,
令f′(x)=0,
得x=-1或x=1,
可知f(x)在(-1,1)上是单调减函数,
f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是单调增函数.
f(x)的极大值为f(-1)=4+k,
f(x)的极小值为f(1)=-4+k.
要使函数f(x)只有一个零点,
只需4+k<0或-4+k>0(如图所示)
或
即k<-4或k>4.
∴k的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).
知识点:导数及其应用
题型:解答题