如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;...
来源:语文精选馆 3.22W
问题详情:
如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:
①OA⊥BC;②BC=6;③sin∠AOB=;④四边形ABOC是菱形.
其中正确结论的序号是( )
A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④
【回答】
B【考点】垂径定理;菱形的判定;圆周角定理;解直角三角形.
【专题】几何图形问题.
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可.
【解答】解:∵点A是劣弧的中点,OA过圆心,
∴ OA⊥BC,故①正确;
∵ ∠ D=30°,
∴ ∠ ABC=∠ D=30°,
∴ ∠ AOB=60°,
∵ 点A是劣弧的中点,
∴ BC=2CE,
∵ OA=OB,
∴ OA=OB=AB=6cm,
∴ BE=AB•cos30°=6×=3cm,
∴ BC=2BE=6cm,故②正确;
∵ ∠ AOB=60°,
∴ sin∠AOB=sin60°=,
故③正确;
∵ ∠ AOB=60°,
∴ AB=OB,
∵ 点A是劣弧的中点,
∴ AC=AB,
∴ AB=BO=OC=CA,
∴ 四边形ABOC是菱形,
故④正确.
故选:B.
【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形,综合*较强,是一道好题.
知识点:圆的有关*质
题型:选择题