设点A、B是抛物线y2=4px(p>0)上除原点O以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,垂足为M,...
来源:语文精选馆 3.12W
问题详情:
设点A、B是抛物线y2=4px (p>0)上除原点O以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,垂足为M,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
【回答】
解 设直线OA的方程为y=kx (k≠±1,因为当k=±1时,直线AB的斜率不存在),则直线OB的方程为y=-,
进而可求A、B(4pk2,-4pk).
于是直线AB的斜率为kAB=,
从而kOM=,
∴直线OM的方程为y=x,①
直线AB的方程为y+4pk= (x-4pk2).②
将①②相乘,得y2+4pky=-x(x-4pk2),
即x2+y2=-4pky+4pk2x=4p(k2x-ky),③
又k2x-ky=x,代入③式并化简,
得(x-2p)2+y2=4p2.
当k=±1时,易求得直线AB的方程为x=4p.
故此时点M的坐标为(4p,0),也在(x-2p)2+y2=4p2 (x≠0)上.
∴点M的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2 (x≠0),
∴其轨迹是以(2p,0)为圆心,半径为2p的圆,去掉坐标原点.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题