如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求*：AD=AN；（2）若AB=...

问题详情：

如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．

（1）求*：AD=AN；

（2）若AB=4，ON=1，求⊙O的半径．

【回答】

【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的*质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；

（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x﹣1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x﹣1

连结AO，则AO=OD=2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．

【解答】（1）*：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，

∴∠BAD=∠BCD，

∵AE⊥CD，AM⊥BC，

∴∠AMC=∠AEN=90°，

∵∠ANE=∠CNM，

∴∠BCD=∠BAM，

∴∠BAM=BAD，

在△ANE与△ADE中，

∵，

∴△ANE≌△ADE，

∴AD=AN；

（2）解：∵AB=4，AE⊥CD，

∴AE=2，

又∵ON=1，

∴设NE=x，则OE=x﹣1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x﹣1

连结AO，则AO=OD=2x﹣1，

∵△AOE是直角三角形，AE=2，OE=x﹣1，AO=2x﹣1，

∴（2）2+（x﹣1）2=（2x﹣1）2，解得x=2，

∴r=2x﹣1=3．

知识点：圆的有关*质

题型：解答题