如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.(1)求...
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问题详情:
如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.
(1)求*:ED是⊙O的切线.
(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.
【回答】
【考点】切线的判定;垂径定理.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)如图,连接OD.通过*△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°,易*得结论;
(2)利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC,所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可.
【解答】(1)*:如图,连接OD.
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,即∠OAE=90°.
在△AOE与△DOE中,
,
∴△AOE≌△DOE(SSS),
∴∠OAE=∠ODE=90°,即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径,
∴ED是⊙O的切线;
(2)解:如图,在△OAE中,∠OAE=90°,OA=3,AE=4,
∴由勾股定理易求OE=5.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵由(1)知,△AOE≌△DOE,
∴∠AEO=∠DEO,
又∵AE=DE,
∴OE⊥AD,
∴OE∥BC,
∴==.
BC=2OE=10,即BC的长度是10.
【点评】本题考查了切线的判定与*质.解答(2)题时,也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题