在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求...

来源：语文精选馆 3.14W

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，求直线l的方程；

（3）设椭圆C2：4x2+y2=1．若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求*：O到直线MN的距离是定值．

【回答】

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：综合题；圆锥曲线的定义、*质与方程．

分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．

（2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，直线l与双曲线的渐近线平行，可得结论；

（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=x，利用，求|ON|2=．同理|OM|2=，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．

解答：解：（1）双曲线C1：2x2﹣y2=1左顶点A（﹣，0），

渐近线方程为：y=±x．

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，

所以，解得．

所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=；

（2）由题意，直线的斜率存在，

∵过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，

∴直线l与双曲线的渐近线平行，

∵渐近线的斜率为±，

∴直线l的方程为y﹣=（x+），即y=x+2+或y=﹣x﹣2+；

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），