如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线A...

问题详情：

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．

（1）用含有t的代数式表示PE=　　　　　　；

（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？

（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，

∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC==5，

∵PE∥CD，

∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，

∴△APE∽△ADC，

又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，

∴==，即==，

∴PE=﹣t+3．

故*为：﹣t+3；

（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，

故QB与PE不平行，

当QP∥BE时，

∵∠PQE=∠BEQ，

∴∠AQP=∠CEB，

∵AD∥BC，

∴∠PAQ=∠BCE，

∴△PAQ∽△BCE，

由（1）得：AE=﹣t+5，PA=4﹣t，BC=4，AQ=t，

∴==，即==，

整理得：5（4﹣t）=16，

解得：t=，

∴当t=时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；

（3）存在．

分两种情况：

当Q在线段AE上时：QE=AE﹣AQ=﹣t+5﹣t=5﹣t，

（i）当QE=PE时，5﹣t=﹣t+3，

解得：x=；

（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，

∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，

∴∠APQ=∠PAQ，

∴AQ=QP=QE，

∴t=5﹣t，

解得，t=；

（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F（如图1），

可得：FE=QE=（5﹣t）=，

∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，

∴cos∠AEP=cos∠ACD==，

∵cos∠AEP===，

解得t=；

当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示：

∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=t，AE=﹣t+5，PE=﹣t+3，

∴﹣t+3=t﹣（﹣t+5），

解得nt=．

综上，当t=或t=或t=或t=时，△PQE为等腰三角形．

知识点：相似三角形

题型：解答题