阅读材料:求解一元一次方程,需要根据等式的基本*质,把方程转化为x=a的形式;求解二元一次方程组,需要通过消元...
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阅读材料:求解一元一次方程,需要根据等式的基本*质,把方程转化为x=a的形式;求解二元一次方程组,需要通过消元把它转化为一元一次方程来解;求解三元一次方程组,需要把它转化为二元一次方程组来解;求解一元二次方程,需要把它转化为两个一元一次方程来解;求解分式方程,需要通过去分母把它转化为整式方程来解,各类方程的解法不尽相同,但是它们都用到一种共同的基本数学思想﹣转化,即把未知转化为已知来求解.
用“转化“的数学思想,我们还可以解一些新的方程.
例如,解一元三次方程x3+x2﹣2x=0,通过因式分解把它转化为x(x2+x﹣2)=0,通过解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得原方程x3+x2﹣2x=0的解.
再例如,解根号下含有来知数的方程:=x,通过两边同时平方把它转化为2x+3=x2,解得:x1=3,x2=﹣1.因为2x+3≥0,且x≥0,所以x=﹣1不是原方程的根,x=3是原方程的解.
(1)问题:方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= .
(2)拓展:求方程=x﹣1的解;
(3)应用:在一个边长为1的正方形中构造一个如图所示的正方形;在正方形ABCD边上依次截取AE=BF=CG=DH=,连接AG,BH,CE,DF,得到正方形MNPQ,若小正方形MNPQ(图中*影部分)的边长为,求n的值.
【回答】
解:(1)∵x3+x2﹣2x=0,
∴x(x﹣1)(x+2)=0
∴x=0或x﹣1=0或x+2=0,
∴x1=0,x2=1,x3=﹣2,
故*为1,﹣2;
(2)给方程=x﹣1的两边平方得,3x2﹣3x﹣2=(x﹣1)2,
∴x=或x=﹣1,
∵3x2﹣3x﹣2≥0且x﹣1≥0,
∴x=﹣1不是原方程的解,x=是原方程的解;
(3)如图,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,
CD∥AB,
∴∠AGD=∠GAB,
∵CG∥AE,CG=AE,
∴四边形AECG是平行四边形,
∴AG∥EC,点E作EW∥PQ交AQ于W,
∴四边形PQWE是平行四边形,
∴EW=PQ=,
∵四边形MNPQ是正方形,
∴∠PQA=90°,
∴∠AWE=90°,
在Rt△ADG中,AD=1,DG=1﹣,
根据勾股定理得,AG===,
∴sin∠AGD==,
在Rt△AWD中,AE=,EW=,
∴sin∠EAW===,
∵∠AGD=∠EAW,
∴=,
两边平方得,,
∴2n2﹣2n+1=145,
∴n2﹣n﹣72=0,
∴(n﹣9)(n+8)=0,
∴n=9或n=﹣8(由于n>0,因此舍去),
∴n=9,
即:n的值为9.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:综合题