如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠COD=∠ABO=90°,∠OCD=45°,∠AOB=60°...
问题详情：
如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠COD=∠ABO=90°,∠OCD=45°,∠AOB=60°,且AO=CD=8.现将Rt△AOB绕点O逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线CD分别与直线AB,OA交于点F,G. (Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B的坐标; (Ⅱ)在旋转过程中,当GF=AF,求β的值;
(Ⅲ)在旋转过程中,当∠BOD=60°时,求直线AB的解析式.
【回答】
解:(Ⅰ)如解图①,过点B 作BH⊥x轴于点H, 在Rt△AOB中,∠AOB=60°,OA=8, ∴OB=
OA=4, 当β=45°时,即∠BOC=45°, ∴OH=BH, ∴OH2＋BH2=42 ∴OH=BH=2
, ∴B(2
,2
); (Ⅱ)当75°＜β＜180°时,存在FA=FG(如解图④), ∴∠A=∠FGA=30°, ∴∠COG=45°－30°=15°=∠AOM, ∴β=∠BOC=180°－15°－60°=105°, ∴当FG=AF时，β=105°; (Ⅲ)①当点B在第一象限时(如解图②),过点B作BM⊥OC于点M,∵∠BOD=60°, ∴∠BOC=30°, ∴OM=OB•cos∠BOC＝4×
＝2
,BM=OB•sin∠BOC＝4×
＝2, ∴B(2
,2), ∵点A在y轴上 ∴A(0,8), 设直线AB的解析式为y=kx＋b, ∴
, 解得:
, ∴直线AB的解析式为:y=－
x＋8; ②当点B在第二象限时,(如解图③), 过点B作 BE⊥x轴于点E,过点A作AH⊥BE于H, ∵∠BOD=60°, ∴∠BOE=30°, ∴∠EBO=60°, ∴∠ABH=30°, 又∵OB=4, ∴OE=OB•cos∠BOE＝4×
＝2
,BE=OB•cos∠BOE＝4×
＝2, ∴B(－2
,2), ∵∠BEO=∠AHB=90°,∠ABH=∠BOE, ∴△OBE∽△BAH, ∴
, ∴AH=2
,BH=6 ∴A(－4
,－4) 设直线AB的解析式为y=kx＋b, ∴
, 解得
,
∴直线AB的解析式为:y=
x＋8.
图① 图②
图③ 图④
知识点：相似三角形
题型：解答题
