如图,抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)...
问题详情:
如图,抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
【回答】
【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=ax(x﹣10),
∵当t=2时,AD=4,
∴点D的坐标为(2,4),
∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4,
解得:a=﹣,
抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x;
(2)由抛物线的对称*得BE=OA=t,
∴AB=10﹣2t,
当x=t时,AD=﹣t2+t,
∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)
=2[(10﹣2t)+(﹣t2+t)]
=﹣t2+t+20
=﹣(t﹣1)2+,
∵﹣<0,
∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为;
(3)如图,
当t=2时,点A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2),
当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(4,4),此时GH不能将矩形面积平分;
当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分;
∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不可能将矩形的面积平分,
当点G、H分别落在线段AB、DC上时,直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积,
∵AB∥CD,
∴线段OD平移后得到的线段GH,
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P,
在△OBD中,PQ是中位线,
∴PQ=OB=4,
所以抛物线向右平移的距离是4个单位.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题