阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△A...

问题详情：

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求*：∠AMN＝60°．

点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易*：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．

问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求*：∠A1M1N1＝90°．

【回答】

【分析】延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的*质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，*出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、CN1，三点共线，由SAS*△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的*质得出∠3＝∠4，*出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．

【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：

则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，

∴△EB1C1是等腰直角三角形，

∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，

∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，

∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，

∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，

∴E、CN1，三点共线，

在△A1B1M1和△EB1M1中，，

∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），

∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，

∵A1M1＝M1N1，

∴EM1＝M1N1，

∴∠3＝∠4，

∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，

∴∠1＝∠2＝∠5，

∵∠1+∠6＝90°，

∴∠5+∠6＝90°，

∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．

知识点：各地中考

题型：综合题