如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是CD的中点,F是BC上的一点,且∠AEF=90°,延长AE交BC的延长...
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如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是CD的中点,F是BC上的一点,且∠AEF=90°,延长AE交BC的延长线于点G,
(1)求GE的长;
(2)求*:AE平分∠DAF;
(3)求CF的长.
【回答】
(1) (2)*见解析(3)CF=1
【解析】
(1)解:在正方形ABCD中,∠D=90°,AD∥BC
∴∠D=∠DCG=90°,∠DAE=∠G
∵E是CD的中点
∴DE=CE
∴△ADE≌△GCE
∴AD=CG
∵AD=DC=4
∴CG=4,CE=2
在Rt△GCE中,GE=
(2)*:由(1)得:△ADE≌△GCE
∴AE=GE
∵∠AEF=90°
∴EF垂直平分AG
∴AF=GF
∴∠FAE=∠G
∵∠DAE=∠G
∴∠FAE=∠DAE
∴AE平分∠DAF
(3)解:在正方形ABCD中
∠B=∠BCD=∠D=90°,AB=BC=CD=DA=4
∴DE=CE=2
设CF=x,则BF=4-x
根据勾股定理得:
AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2
EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4
AE2=AD2+ DE2=42+22=20
在Rt△AEF中,AF2= EF2+ AE2
∴32-8x+ x2= x2+4+20
解得:x=1
∴CF=1
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题