如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA. （1）若∠BAC=60°，①求*：OD=...
问题详情：
如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.
（1）若∠BAC=60°，
①求*：OD= 
OA.
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值。
（2）点E在线段OA上，（OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED（m，n是正数）.若∠ABC<∠ACB，求*：m-n+2=0.
【回答】
（1）①*：连接OB，OC，
因为OB=OC，OD⊥BC，
所以∠B0D= 
∠BOC= 
×2∠BAC=60°，
所以OD= 
OB= 
OA.
②作AF⊥BC，垂足为点F，
所以AF≤AD≤AO+OD= 
，等号当点A，O，D在同一直线上时取到.
由①知，BC=2BD= 
，
所以△ABC的面积= 
BC·AF≤ 
× 
× 
= 
，
即△ABC面积的最大值是 
（2）*：设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β.
因为△ABC是锐角三角形，
所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，
即（m+n）α+β=180°.（*）
又因为∠ABC<∠ACB，
所以∠EOD=∠AOC+∠DOC
=2mα+β，
因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，
所以2（m+1）α+β=180°.（**）
由（*），（**），得m+n=2（m+1），
即m-n+2=0.
【考点】圆周角定理，圆的综合题
【解析】【分析】（1）①连结OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC=120°，由等腰三角形*质得∠BOD= 
∠BOC=60°，由直角三角*质即可得*.
②作AF⊥BC，垂足为F，由三角形三边关系得AF≤AD≤AO+OD，当点A、O、D三点共线时才能取等号，由①知BC=2BD= 
，由S△ABC= 
·BC·AF≤ 
× 
× 
，计算即可求得*.（2）设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由周角定义得∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，即（m+n）α+β=180°①，由大边对大角得∠ABC＜∠ACB，可得∠EOD=2mα+β，由三角形内角和定理得2（m+1）α+β=180°②，①②联立即可得*.
知识点：各地中考
题型：综合题
