已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,*:当-1<x<0时,...
来源：语文精选馆 2.08W
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已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.
(1)若a=0,*:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
【回答】
解(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,
f'(x)=ln(1+x)-
,
设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-
,
则g'(x)=
,
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,当且仅当x=0时,f'(x)=0.
所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.
又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.
②若a<0,设函数h(x)=
=ln(1+x)-
由于当|x|<min
时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.
又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.
h'(x)=
若6a+1>0,则当0<x<-
,且|x|<min
时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.
若6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min
时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.
若6a+1=0,则h'(x)=
当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.
所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.
综上,a=-
知识点：导数及其应用
题型：解答题
