已知函数f(x)=x-a(ln x)2,a∈R.(1)当a=1,x>1时,试比较f(x)与1的大小,并说...

问题详情：

已知函数f(x)=x-a(ln x)2,a∈R.

(1)当a=1,x>1时,试比较f(x)与1的大小,并说明理由;

(2)若f(x)有极大值,求实数a的取值范围;

(3)若f(x)在x=x0处有极大值,*1<f(x0)<.

【回答】

 .(1)解当a=1,x>1时,f(x)=x-(lnx)2,x>1.

f'(x)=1-2(lnx)

令g(x)=x-2lnx,x>1,

则g'(x)=1-

当x∈(1,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

∴g(x)≥g(2)=2-2ln2>0,即f'(x)>0.

∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.

∴f(x)>f(1)=1.

故当a=1,x>1时f(x)>1.

(2)解∵f'(x)=1-(x>0),

令h(x)=x-2alnx(x>0),则h'(x)=1-

①当a=0时,f(x)=x无极大值.

②当a<0时,h'(x)>0,

h(x)在(0,+∞)上单调递增,

h(1)=1>0,h()=-1<0,

∃x1∈(,1),使得h(x1)=0.

∴当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,

当x∈(x1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

∴f(x)在x=x1处有极小值,f(x)无极大值.

③当a>0时,h(x)在(0,2a)上单调递减,h(x)在(2a,+∞)上单调递增,

∵f(x)有极大值,

∴h(2a)=2a-2aln(2a)=2a(1-ln2a)<0,

即a>

又h(1)=1>0,h(e)=e-2a<0,

∴∃x0∈(1,e),使得h(x0)=x0-2alnx0=0,即alnx0=;

∴当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

当x∈(x0,e)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

∴f(x)有极大值,综上所述,a>

(3)*由(2)可知,alnx0=,

∴f(x0)=x0-a(lnx0)2=x0-(1<x0<e).

设p(x)=x-(1<x<e),

则p'(x)=1->0.

∴p(x)在(1,e)上单调递增,

∴p(1)<p(x)<p(e),

即1<p(x)<,

故1<f(x0)<

知识点：导数及其应用

题型：解答题