如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线...

问题详情：

如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为　   　．

【回答】

　．

 【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，得到DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，根据相似三角形的*质得到xy＝mn，y＝﹣x+10，由＝，得到n＝m，于是得到（m+n）最大＝m，然后根据二次函数的*质即可得到结论．

【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，

设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，

∵BD＝4，

∴DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，

∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，

∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，

∴∠EAB＝∠CBF，

∴△ABE∽△BFC，

∴，即＝，

∴xy＝mn，

∵∠ADN＝∠CDM，

∴△CMD∽△AND，

∴＝，即＝，

∴y＝﹣x+10，

∵＝，

∴n＝m，

∴（m+n）最大＝m，

∴当m最大时，（m+n）最大＝m，

∵mn＝xy＝x（﹣x+10）＝﹣x2+10x＝m2，

∴当x＝﹣＝时，mn最大＝＝m2，

∴m最大＝，

∴m+n的最大值为×＝．

故*为：．

【点评】本题考查了平行线的*质，相似三角形的判定和*质，二次函数的*质，正确的作出辅助线是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：填空题