如图1,有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4,正方形ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l3,l4上,EG过点D...
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如图1,有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4,正方形ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l3,l4上,EG过点D且垂直l1于点E,分别交l2,l4于点F,G,EF=DG=1,DF=2.
(1)AE= ,正方形ABCD的边长= ;
(2)如图2,将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′,旋转角为α(0°<α<90°),点D′在直线l3上,以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′,使B′,C′分别在直线l2,l4上.
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出*;
②若α=30°,求菱形AB′C′D′的边长.
(第25题图)
【回答】
解:(1)由题意可得∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3,
在△AED和△DGC中,
,
∴△AED≌△DGC(AAS),
∴AE=GD=1,
又∵DE=1+2=3,
∴正方形ABCD的边长==.
(2)①∠B′AD′=90°﹣α;
理由:过点B′作B′M垂直于l1于点M,
在Rt△AE′D′和Rt△B′MA中,
,
∴Rt△AE′D′≌Rt△B′MA(HL),
(第25题答图)
∴∠D′AE′+∠B′AM=90°,
∠B′AD′+α=90°,
∴∠B′AD′=90°﹣α;
②过点E′作ON垂直于l1分别交l1,l3于点O,N,
若α=30°,
则∠E′D′N=60°,AE′=1,
故E′O=,E′N=,E′D′=,
由勾股定理可知菱形的边长为==.
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题