在四边形中ABCD,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.(1)若四边形ABCD为正方...
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在四边形中ABCD,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形.
①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系 DF=AE ;
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;
(3)如图3,若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其它条件都不变,将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E'BF',连接AE',DF',请在图3中画出草图,并直接写出AE'与DF'的数量关系.
【回答】
解:(1)①∵四边形ABCD为正方形,
∴△ABD为等腰直角三角形,
∴BF=AB,
∵EF⊥AB,
∴△BEF为等腰直角三角形,
BF=BE,
∴BD﹣BF=AB﹣BE,
即DF=AE;
故*为DF=AE;
②DF=AE.理由如下:
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,
∴∠ABE=∠DBF,
∵=,=,
∴=,
∴△ABE∽△DBF,
∴==,
即DF=AE;
(2)如图3,∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=mAB,
∴BD==AB,
∵EF⊥AB,
∴EF∥AD,
∴△BEF∽△BAD,
∴=,
∴==,
∵△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E'BF',
∴∠ABE′=∠DBF′,BE′=BE,BF′=BF,
∴==,
∴△ABE′∽△DBF′,
∴==,
即DF′=AE′.
【点评】本题考查了相似形的综合题:熟练掌握旋转的*质、矩形和正方形的*质;灵活应用相似三角形的判定和*质,会利用相似比表示线段之间的关系.
知识点:各地中考
题型:综合题