已知双曲线Γ1：与圆Γ2：x2+y2=4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2...
问题详情：
已知双曲线Γ1：
与圆Γ2：x2+y2=4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|xA|的部分．
（1）若xA=
，求b的值；
（2）当b=
，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|=8，求∠F1PF2；
（3）过点D（0，
）斜率为-
的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示
，并求
的取值范围．
【回答】
（1）2 （2）arccos
（3）（6+2
，+∞）
【解析】解：（1）由xA=
，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立
，解得yA=
，b=2；
（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|=8，2a=4，
所以|PF2|=8-4=4，因为b=
，则c=
=3，
所以|F1F2|=6，
在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2=
=
由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2=arccos
；
（3）设直线l：
，可得原点O到直线l的距离d=
,所以直线l是圆的切线，设切点为M，
所以kOM=
，并设OM：y=
x与圆x2+y2=4+b2联立，可得x2+
=4+b2，
可得x=b，y=2，即M（b，2），
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当yA＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，
由
，
所以有4＜
，解得b2＞2+2
或b2＜2-2
（舍去），
因为
为
在
上的投影可得，
=4+b2，
所以
=4+b2＞6+2
，
则
∈（6+2
，+∞）．
【考点】平面向量数量积的*质及其运算；直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、*质与方程；数学运算．
【分析】（1）联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及xA=
，解方程可得b；
（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；
（3）设直线l：
，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当yA＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得
，进而得到所求范围．
【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、*质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
