设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn.已知ai，bj∈{0，1}（i=1，2，…，n；j...

问题详情：

设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn.已知ai，bj∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定义n×n数表，其中xij.

（1）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；

（2）若A，B是不同的数列，求*：n×n数表X（A，B）满足“xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）”的充分必要条件为“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”；

（3）若数列A与B中的1共有n个，求*：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于.

【回答】

（1）；（2）*见解析；（3）*见解析.

【分析】

（1）根据题中给的定义写出X（A，B）；

（2）可先*充分*，充分*由定义易*；再*必要*，注意分类讨论:先分a1=0和a1=1两类，a1=0较易*，对a1=1再分b1=0和b1=1两类*，运用xij分析推理可得;

（3）根据数列A与B中的1共有n个，设A中1的个数为p，则A中0的个数为n﹣p，B中1的个数为n﹣p，B中0的个数为p.表示出n×n数表X（A，B）中1的个数，再用不等式*得n×n数表X（A，B）中1的个数不大于.

【详解】

（1）解：.

（2）*：充分*

若ak+bk=1（k=1，2，…，n），由于xij，xji，

令 A：a1，a2，…，an，由此数列 B：1﹣a1，1﹣a2，…，1﹣an.

由于 ai=bj⇔ai=1﹣aj⇔ai+aj=1⇔aj=1﹣ai⇔aj=bi.

从而有 xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

必要*

若xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

由于A，B是不同的数列，

设a1=1，b1=0，对任意的正整数k＞1，

①若x1k=xk1=1，可得 a1=bk=1，ak=b1=0，

所以  ak+bk=1.

②若x1k=xk1=0，可得 bk=0，ak=1，

所以ak+bk=1.

同理可* ，b1=1时，有ak+bk=1（k=1，2，…，n）成立.

设a1=1，b1=1，对任意的正整数k＞1，

①若x1k=xk1=1，可得a1=bk=1，ak=b1=1，

所以有ak=bk=1，则A，B是相同的数列，不符合要求.

②若x1k=xk1=0，可得bk=0，ak=0，

所以有ak=bk，则A，B是相同的数列，不符合要求.

同理可* a1=0，b1=0时，A，B是相同的数列，不符合要求.

综上，有n×n数表X（A，B）满足“xij=xji”的充分必要条件为“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”.

（3）*：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，

由此，A中0的个数为n﹣p，B中1的个数为n﹣p，B中0的个数为p.

若 ai=1，则数表X（A，B）的第i行为数列B：b1，b2，…，bn，

若 ai=0，则数表X（A，B）的第i行为数列B：1﹣b1，1﹣b2，…，1﹣bn，

所以 数表X（A，B）中1的个数为.

所以 n×n数表X（A，B）中1的个数不大于.

【点睛】

本题是以数列、矩阵和分段函数为背景的新概念题目，考查学生的理解能力，应用能力，分类讨论思想，是一道较难的综合题.

知识点：数列

题型：解答题