如图,△MCB的顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点M,C,B,...
问题详情:
如图,△MCB的顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点M,C,B,且点M为抛物线的顶点,点A(-1, 0)是抛物线与x轴负半轴的交点,若线段AB=6,∠ABC=45°.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为线段BM上任意一点(点D不与点B重合),过点D作垂直于x轴的直线x=t,交抛物线于点E,交线段BC于点F.
①求当t为何值时,线段DE有最大值?最大值是多少?
②是否存在这样的点D,使得=?若存在,求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.
第13题图
【回答】
解:(1)∵A(-1,0),AB=6,
∴OB=5,
∴点B的坐标为(5,0),
∵∠ABC=45°,
∴CO=BO=5,
∴点C的坐标是(0,5),
把A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,
得,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5;
(2)①由抛物线y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9得顶点M(2,9),
设BM的解析式为y=kx+b1(k≠0),将点B、点M的坐标代入可得
,解得,
∴直线BM的解析式为y=-3x+15,
∵EF⊥AB,
∴xE=xD=t,
∴E(t,-t2+4t+5),D(t,-3t+15),
∴ED=-t2+4t+5-(-3t+15)=-t2+7t-10=-(t-)2+,
∵-1<0,
∴当t=时,ED最大=;
②存在.
理由如下:
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),
将点B、点C的坐标代入可得,
解得,
∴直线BC的解析式为y=-x+5,
∴F(t,-t+5),
∴ED=-t2+7t-10,FD=-2t+10,
当=时,2(-t2+7t-10)=-2t+10,
解得t1=3,t2=5(与B点重合,舍去),
∴D点的坐标为(3,6).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题