如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x...
问题详情:
如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式;
(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
(3)若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.
【回答】
思路分析:(1)将A、B两点坐标代入y=kx+b中,求出k、b的值;(2)作出点P到直线AB的距离后,由于∠AHC=90°,考虑构造“K形”相似,得到△MAH、△OBA、△NHP三个三角形两两相似,三边之比都是3∶4∶5.由“”可得,整理可得d关于x的二次函数,*可求出d的最小值;
(3)如果点C关于直线x=1的对称点C′,根据对称*可知,CE=C′E.当C′F⊥AB时,CE+EF最小.
解:(1)∵y=kx+b经过A(-4,0)、B(0,3),
∴,解得k=,b=3.
∴y=x+3.
(2)过点P作PH⊥AB于点H,过点H作x轴的平行线MN,分别过点A、P作MN的垂线段,垂足分别为M、N.
设H(m,m+3),则M(-4,m+3),N(x,m+3),P(x,-x2+2x+1).
∵PH⊥AB,∴∠CHN+∠AHM=90°,∵AM⊥MN,∴∠MAH+∠AHM=90°.
∴∠MAH=∠CHN,∵∠AMH=∠CNH=90°,∴△AMH∽△HNP.
∵MA∥y轴,∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.
∴.
∴.
整理得:,所以当x=,即P(,).
(3)作点C关于直线x=1的对称点C′,过点C′作C′F⊥AB于F.过点F作JK∥x轴,,分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J,C′K⊥JK于点K.则C′(2,1)
设F(m,m+3)
∵C′F⊥AB,∠AFJ+∠C′FK=90°,∵CK⊥JK,∴∠C′+∠C′FK=90°.
∴∠C′=∠AFJ,∵∠J=∠K=90°,∴△AFJ∽△FC′K.
∴,∴,解得m=或-4(不符合题意).
∴F(,),∵C′(2,1),∴FC′=.
∴CE+EF的最小值=C′E=.
知识点:各地中考
题型:综合题