已知,直线y=kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4,0)、B(0,3),抛物线y=－x2＋2...
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已知,直线y=kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点
A(－4,0)、B(0,3),抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C.
(Ⅰ)求直线y=kx＋b的函数解析式;
(Ⅱ)若点P(m,t)是抛物线y=－x2＋2x＋1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时m的值;
(Ⅲ)若点E在抛物线y=－x2＋2x＋1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE＋EF的最小值.
【回答】
解:(Ⅰ)∵直线y=kx＋b经过点A(－4,0),B(0,3),
∴
,解得
,
∴直线的解析式为y=
x＋3;
(Ⅱ)如解图,过点P作PM⊥AB于点M,作PN∥y轴交直线AB于点N.
∵PN∥y轴,
∴∠PNM=∠ABO,
∵∠AOB=∠NMP=90°,
∴△AOB∽△PMN,
∴
=
,
∵OA=4,OB=3,
∴AB=
=5,
∴PM=
PN,
∵点P是抛物线上的点,PN∥y轴,
∴P(m,－m2＋2m＋1),N(m,
m＋3),
∴PN=
m＋3－(－m2＋2m＋1)=m2－
m＋2=(m－
)2＋
,
∴PM=d=
(m－
)2＋
,
∴当m=
时,d取得最小值
;
(Ⅲ)∵抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C,
∴C(0,1),对称轴为x=－
=1,点C关于对称轴的对称点为K(2,1),
∴点K到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值,最小值为d=
×(2－
)2＋
=
.
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
