关于的方程有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程...

问题详情：

关于的方程有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．

（1）求sinA的值；

（2）若关于y的方程的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．

【回答】

解：（1）因为关于x的方程有两个相等的实数根，

则△=25sin2A-16=0………………………………………1分

∴sin2A=，

∴sinA=，……………………………………………2分

∵∠A为锐角，

∴sinA=；………………………………………………3分

（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2-4k+29=0有两个实数根，

则△≥0，………………………………………………4分

∴100﹣4（k2-4k+29）≥0，

∴﹣（k-2）2≥0，

∴（k-2）2≤0，

又∵（k-2）2≥0，

∴k=2．…………………………………………………5分

把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，

解得y1=y2=5，

∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5. …………6分

分两种情况：

①    

∵sinA=, ∴AD=3 ，BD=4∴DC=2, ∴BC=.

∴△ABC的周长为. ……………………………7分

②     ∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D, 在Rt△ABD中，AB=5 ∵sinA=, ∴A D =DC =3, ∴AC=6.

综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16……………9分

知识点：各地中考

题型：解答题