关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角.(1)求si...
问题详情:
关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角.
(1)求sinA的值;
(2)若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长,求△ABC的周长.
【回答】
(1)sinA=;(2)△ABC的周长为或16.
【解析】
分析:(1)利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0,解得sinA=;
(2)利用判别式的意义得到100-4(k2-4k+29)≥0,则-(k-2)2≥0,所以k=2,把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5,则△ABC是等腰三角形,且腰长为5.
分两种情况:当∠A是顶角时:如图,过点B作BD⊥AC于点D,利用三角形函数求出AD=3,BD=4,再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长;
当∠A是底角时:如图,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=5,利用三角函数求出AD得到AC的长,从而得到△ABC的周长.
详解:(1)根据题意得△=25sin2A-16=0,
∴sin2A=,
∴sinA=±,
∵∠A为锐角,
∴sinA=;
(2)由题意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,
则△≥0,
∴100-4(k2-4k+29)≥0,
∴-(k-2)2≥0,
∴(k-2)2≤0,
又∵(k-2)2≥0,
∴k=2,
把k=2代入方程,得y2-10y+25=0,
解得y1=y2=5,∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5.
分两种情况:
当∠A是顶角时:如图,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=AC=5,
∵sinA=,
∴AD=3,BD=4∴DC=2,
∴BC=2.
∴△ABC的周长为10+2;
当∠A是底角时:如图,过点B作BD⊥AC于点D,
在Rt△ABD中,AB=5,
∵sinA=,
∴AD=DC=3,
∴AC=6.
∴△ABC的周长为16,
综合以上讨论可知:△ABC的周长为10+2或16.
点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.也考查了解直角三角形.
知识点:解一元二次方程
题型:解答题