定义:如图1,点P为∠AOB平分线上一点,∠MPN的两边分别与*线OA,OB交于M,N两点,若∠MPN绕点P旋...
问题详情:
定义:如图1,点P为∠AOB平分线上一点,∠MPN的两边分别与*线OA,OB交于M,N两点,若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON=OP2,则称∠MPN是∠AOB的“相关角”.
(1)如图1,已知∠AOB=60°,点P为∠AOB平分线上一点,∠MPN的两边分别与*线OA,OB交于M,N两点,且∠MPN=150°.求*:∠MPN是∠AOB的“相关角”;
(2)如图2,已知∠AOB=α(0°α90°),OP=3,若∠MPN是∠AOB的“相关角”,连结MN,用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积;
(3)如图3,C是函数(x0)图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A,B两点,且满足BC=3CA,∠AOB的“相关角”为∠APB,请直接写出OP的长及相应点P的坐标.
【回答】
(1)见解析;(2);(3),P点坐标为或
【解析】
【分析】
(1)由角平分线求出∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°,再*出∠OMP=∠OPN,*△MOP∽△PON,即可得出结论;
(2)由∠MPN是∠AOB的“相关角”,判断出△MOP∽△PON,得出∠OMP=∠OPN,即可得出∠MPN=180°﹣α;过点M作MH⊥OB于H,由三角形的面积公式得出:S△MON=ON•MH,即可得出结论;
(3)设点C(a,b),则ab=3,过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:①当点B在y轴正半轴上时;当点A在x轴的负半轴上时,BC=3CA不可能;当点A在x轴的正半轴上时;先求出,由平行线得出△ACH∽△ABO,得出比例式:,得出OB,OA,求出OA•OB,根据∠APB是∠AOB的“相关角”,得出OP,即可得出点P的坐标;②当点B在y轴的负半轴上时;同①的方法即可得出结论.
【详解】
(1)*:∵∠AOB=60°,P为∠AOB的平分线上一点,
∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=30°,
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO=180°,
∴∠OMP+∠MPO=150°,
∵∠MPN=150°,
∴∠MPO+∠OPN=150°,
∴∠OMP=∠OPN,
∴△MOP∽△PON,
∴,
∴OP2=OM•ON,
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”;
(2)解:∵∠MPN是∠AOB的“相关角”,
∴OM•ON=OP2,
∴,
∵P为∠AOB的平分线上一点,
∴∠MOP=∠NOP=α,
∴△MOP∽△PON,
∴∠OMP=∠OPN,
∴∠MPN=∠OPN+∠OPM=∠OMP+∠OPM=180°﹣α,
即∠MPN=180°﹣α;
过点M作MH⊥OB于H,如图2,
则S△MON=ON•MH=ON•OMsinα=OP2•sinα,
∵OP=3,
∴S△MON=sinα;
(3)设点C(a,b),则ab=4,
过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:
①当点B在y轴正半轴上时;
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上,如图3所示:
BC=3CA不可能,
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时,如图4所示:
∵BC=3CA,
∴,
∵CHOB,
∴△ACH∽△ABO,
∴,
∴,
∴OB=4b,OA=a,
∴OA•OB=a•4b=ab=,
∵∠APB是∠AOB的“相关角”,
∴OP2=OA•OB,
∴,
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P的坐标为:;
②当点B在y轴的负半轴上时,如图5所示:
∵BC=3CA,
∴AB=2CA,
∴,
∵CHOB,
∴△ACH∽△ABO,
∴,
∴
∴OB=2b,OA=a,
∴OA•OB=a•2b=ab=,
∵∠APB是∠AOB的“相关角”,
∴OP2=OA•OB,
∴,
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P的坐标为:;
综上所述:点P的坐标为:或.
【点睛】
本题考查反比例函数与几何综合,掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键.
知识点:反比例函数单元测试
题型:解答题