已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的...

问题详情：

已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.

(1)试求常数a，b，c的值；

(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．

【回答】

[解]　f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，

(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，

∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．

由根与系数的关系知

又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，                                       ③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，                      ①

3a－2b＋c＝0，                                                      ②

又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，      ③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)f(x)＝x3－x，

∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．

当x＜－1或x＞1时f′(x)＞0，

当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.

∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，

在(－1,1)上是减函数．

∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点．

知识点：导数及其应用

题型：解答题