已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0...
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已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求*:f(x)是R上的单调减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
【回答】
(1)*:设x1,x2是任意的两个实数,且x1<x2,
则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,
所以f(x2-x1)<0,
又因为x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2)<f(x1).
所以f(x)是R上的单调减函数.
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.
所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
【点睛】
抽象函数常见的赋值形式:令,,,等。
知识点:*与函数的概念
题型:解答题