如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交B...
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求*:AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求CE的长.
【回答】
【考点】切线的判定;圆周角定理.
【分析】(1)连接OD,由BD为角平分线得到一对角相等,再根据等腰三角形的*质得出一对内错角相等,进而确定出OD与BC平行,利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角,即可得*;
(2)过O作OG垂直于BE,可得出四边形ODCG为矩形,利用勾股定理求出BG的长,由垂径定理可得BE=2BG,中由切割线定理求出CE的长即可.
【解答】(1)*:连接OD,如图,
∵BD为∠ABC平分线,
∴∠1=∠2,
∵OB=OD,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OD∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ODA=90°,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:过O作OG⊥BC,连接OE,
则四边形ODCG为矩形,
∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,
在Rt△OBG中,利用勾股定理得:BG=6,
∵OG⊥BE,OB=OE,
∴BE=2BG=12.
解得:BE=12,
∵AC是⊙O的切线,
∴CD2=CE•CB,
即82=CE(CE+12),
解得:CE=4或CE=﹣16(舍去),
即CE的长为4.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题