如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接D...
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问题详情:
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求*:BC2=2CD•OE;
(3)若,求OE的长.
【回答】
(1)*:连接OD,BD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)*:∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=AC•CD.
∴BC2=2CD•OE;
(3)解:∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=6,E是BC的中点,即BC=,
∴AC=.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=.
知识点:相似三角形
题型:综合题