设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)...

问题详情：

设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．

(1)求f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．

【回答】

解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1　(x∈R，t＞0)，

∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

即h(t)＝－t3＋t－1.

(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，

由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．

当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：

∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，

∵h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，

也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，

∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.

故实数m的取值范围是(1，＋∞)

知识点：导数及其应用

题型：解答题