把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:∠ACB...
问题详情:
把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;
(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;
(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形.
【回答】
【考点】相似三角形的判定与*质;二次函数的最值;等腰三角形的*质.
【专题】动点型.
【分析】(1)根据题意以及直角三角形*质表达出CQ、AQ,从而得出结论,
(2)作PG⊥x轴,将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解,
(3)根据题意以及三角形相似对边比例*质即可得出结论.
【解答】(1)解:AP=2t
∵∠EDF=90°,∠DEF=45°,
∴∠CQE=45°=∠DEF,
∴CQ=CE=t,
∴AQ=8﹣t,
t的取值范围是:0≤t≤5;
(2)过点P作PG⊥x轴于G,可求得AB=10,SinB=,PB=10﹣2t,EB=6﹣t,
∴PG=PBSinB=(10﹣2t)
∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==
∴当(在0≤t≤5内),y有最大值,y最大值=(cm2)
(3)若AP=AQ,则有2t=8﹣t解得:(s)
若AP=PQ,如图①:过点P作PH⊥AC,则AH=QH=,PH∥BC
∴△APH∽△ABC,
∴,
即,
解得:(s)
若AQ=PQ,如图②:过点Q作QI⊥AB,则AI=PI=AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A,
∴△AQI∽△ABC
∴即,
解得:(s)
综上所述,当或或时,△APQ是等腰三角形.
知识点:相似三角形
题型:解答题