数学活动课上,老师让同学们以“三角形的旋转"为主题开展数学活动,ABC和DEC是两个全等的直角三角形纸片,其中...
问题详情:
数学活动课上,老师让同学们以“三角形的旋转"为主题开展数学活动,ABC和DEC是两个全等的直角三角形纸片,其中∠ACB=∠DCE=90°,B=∠E =30° ,AB=DE =4.
解决问题
(1)如图①,智慧小组将DEC绕点C顺时针旋转,发现当点D恰好落在AB边上时,DE//AC,请你帮他们*这个结论;
(2)缜密小组在智慧小组的基础上继续探究,连接AE、AD、BD,当DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时,他们提出,请你帮他们验*这一结论是否正确,并说明由;
探索发现
(3)如图③,勤奋小组在前两个小组的启发下,继续旋转DEC,当B.A、E三点共线时,求BD的长;
(4)在图①的基础,上,写出一个边长比为1::2的三角形(可添加字母)。
【回答】
(1)*:∵△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,……(1分)
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;……(2分)
(2)解:正确,理由如下:
如解图①,过点A作AN⊥EC,交EC延长线于点N,过点D作DM⊥BC于点M.
∵△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片,
∴BC=CE,AC=CD,……(3分)
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,……(4分)
在△ACN和△DCM中,
∵,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴S△BDC=S△AEC(等底等高的三角形面积相等);(5分)
(解图①)
(3)解:∵CE=CB,
∴∠BEC=∠ABC=30°,
又∵∠DEC=∠ABC=30°,
∴∠BED=60°,(6分)
由(1)可知∠BAC=60°,
∴AC//DE,
∴∠ACE=∠DEC=30°,
∴AC=AE,(7分)
∵AC=CD,∴AE=CD,
在△ADE和△CED中,,
∴△ADE≌△CED,
∴∠EAD=∠DCE=90°,AD=CE,即DA⊥AB,(8分)
在△ABC中,∠B=30°,AB=4,
∴BC=CE=AD=2,
在Rt△BAD中,由勾股定理得BD==2;(9分)
(4)解:*不唯一,合理即可.(11分)
例:如解图②,记BC与DE交于点F,则△DFB是边长比为1∶ ∶2的三角形.
(解图②)
知识点:勾股定理
题型:综合题