如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B...

问题详情：

如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足＝，AB⊥AF2.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

【回答】

 (1)设B(x0,0)，由F2(c,0)，A (0，b)知，＝(c，－b)，＝(x0，－b)，

∵⊥，∴cx0＋b2＝0，x0＝－.

由＝知F1为BF2中点，故－＋c＝－2c，

∴b2＝3c2＝a2－c2，即a2＝4c2，故椭圆C的离心率e＝.

(2)由(1)知＝，得c＝a，于是F2(a,0)，B(－a,0)，

△ABF的外接圆圆心为F1(－a,0)，半径r＝a，

D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于2a，∴圆心到直线的距离为a，

∴＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题