已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°...

问题详情：

已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．

（1）如图1，当D，B，F共线时，求*：

①EB＝EP；

②∠EFP＝30°；

（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求*：∠BFD+∠EFP＝30°．

【回答】

【解答】*（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴∠A＝90°﹣30°＝60°，

同理∠EDF＝60°，

∴∠A＝∠EDF＝60°，

∴AC∥DE，

∴∠DMB＝∠ACB＝90°，

∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，

∴，

即M是BC的中点，

∵EP＝CE，即E是PC的中点，

∴ED∥BP，

∴∠CBP＝∠DMB＝90°，

∴△CBP是直角三角形，

∴BE＝PC＝EP；

②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，

∴BC∥EF，

由①知：∠CBP＝90°，

∴BP⊥EF，

∵EB＝EP，

∴EF是线段BP的垂直平分线，

∴PF＝BF，

∴∠PFE＝∠BFE＝30°；

（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，

∴△QEP≌△DEC（SAS），

则PQ＝DC＝DB，

∵QE＝DE，∠DEF＝90°

∴EF是DQ的垂直平分线，

∴QF＝DF，

∵CD＝AD，

∴∠CDA＝∠A＝60°，

∴∠CDB＝120°，

∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，

∴△FQP≌△FDB（SAS），

∴∠QFP＝∠BFD，

∵EF是DQ的垂直平分线，

∴∠QFE＝∠EFD＝30°，

∴∠QFP+∠EFP＝30°，

∴∠BFD+∠EFP＝30°．

【分析】（1）①*△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；

②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的*质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的*质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；

（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，*△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，*△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．

知识点：各地中考

题型：综合题