在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)、B(0，3)、C(1，0)三点．(1)...
问题详情：
在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)、B(0，3)、C(1，0)三点．
(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
(2)若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB＋MC的值最小，求点M的坐标以及MB＋MC的最小值；
(3)若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且纵坐标分别为m，m＋2，当四边形CBQP周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值．
【回答】
解：(1)将A、B、C的坐标代入函数解析式，
得
，解得
，
∴ 抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，
*，得y＝－(x＋1)2＋4，即顶点坐标为(－1，4)；
（2）如解图①，连接AB交对称轴于点M，连接MC，
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由A、C关于对称轴对称，得AM＝MC，
∴ MB＋MC＝AM＋MB＝AB，
此时，MB+MC的值最小，
由勾股定理，得AB＝
＝3
，
即MB＋MC＝3
，
设AB的解析式为y＝kx＋b，
将A、B两点坐标代入，得
，解得
，
∴直线AB的解析式为y＝x＋3，
当x＝－1时，y＝2，即M(－1，2)，
此时MB＋MC的最小值为3；
（3）如解图②，将B点向下平移两个单位，得D点，连接AD交对称轴于点P，作BQ∥PD交对称轴于Q点，
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∵PQ∥BD，BQ∥PD，
∴四边形BDPQ是平行四边形，
∴BQ＝PD，PQ＝BD＝2，
∴BQ＋PC＝PD＋AP＝AD，
由勾股定理，得AD＝
＝
＝
，
BC＝
＝
＝，
∴四边形CBQP周长的最小值为BC＋BQ＋PQ＋PC
＝BC＋PQ＋(BQ＋PC)
＝BC＋PQ＋AD
＝
＋2＋
＝2＋2，
设AD的解析式为y＝kx＋b，将A、D点坐标代入得，
，解得
，
∴直线AD的解析式为y＝
x＋1，
当x＝－1时，y＝
，即P(－1，
)，
由|PQ|＝2，且Q点纵坐标大于P点纵坐标得Q(－1，
)，
故当四边形CBQP周长最小时，点P的坐标为(－1，)，点Q的坐标为(－1，
)，四边形CBQP周长的最小值是2＋2.
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
