请你设计一个包装盒，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去如图(1)所示的*影部分的四个全等的等腰直角三...

问题详情：

请你设计一个包装盒，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去如图(1)所示的*影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个如图(2)所示的正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位：cm2)最大，试问：x应取何值?

(2)若广告商要求包装盒容积V(单位：cm3)最大，试问：x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

图(1)                   图(2)

(例2)

【回答】

【思维引导】本题求解的前提是找到盒子的底面边长与高，继而求得底面面积，再求其体积.而解题的关键是正确地求得“盒子”体积的函数式.因为题中涉及了三次函数的最值，所以要考虑结合导数求最值.

【解答】(1)根据题意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1 800(0<x<30)，

所以x=15 时包装盒侧面积S最大.

答：当x=15时，包装盒的侧面积最大，

(2)根据题意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0<x<30)，

所以V'=6x(20-x).

当0<x<20时，V'>0，V单调递增；

当20<x<30时，V'<0，V单调递减，

所以当x=20时，V取极大值也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为=.

答：x=20时包装盒容积V最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.

【精要点评】(1)本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解的能力等，属于中档题；

(2)合理、正确地构建函数式是解决此类问题的关键，在给出函数式时要考虑到其定义域；

(3)涉及求高次函数的最值时要考虑结合导数求最值.

知识点：空间几何体

题型：解答题