如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求*：P...

问题详情：

如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，

底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求*：PA∥平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；

(2)（理）若二面角E­BD­C为30°，求四棱锥P­ABCD的体积．

（文 ）若，求四棱锥P­ABCD的体积．

【回答】

(1)*：连接OE，如图所示．

∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.

(2)取OC中点F，连接EF.

∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.

又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.

∴∠EOF为二面角E­BD­C的平面角，∴∠EOF＝30°.

在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，

∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a.∴VP­ABCD＝×a2×a＝a3.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题