在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交...
问题详情：
在平面直角坐标系中，将二次函数
的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与
轴交于点
、
(点
在点
的左侧)，
，经过点
的一次函数
的图象与
轴正半轴交于点
，且与抛物线的另一个交点为
，
的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点
在一次函数的图象下方，求
面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点
为
轴上任意一点，在(2)的结论下，求
的最小值．
【回答】
(1)
；
；(2)
的面积最大值是
，此时
点坐标为
；(3)
的最小值是3.
【分析】
(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点
代入可求得
的值，由
的面积为5可求出点
的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由
、
的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)作
轴交
于
，如图，利用三角形面积公式，由
构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的*质即可解决问题；
(3)作
关于
轴的对称点
，过点
作
于点
，交
轴于点
，则
，利用锐角三角函数的定义可得出
，此时
最小，求出最小值即可．
【详解】
解：(1)将二次函数
的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为
，
∵
，∴点
的坐标为
，
代入抛物线的解析式得，
，∴
，
∴抛物线的解析式为
，即
．
令
，解得
，
，∴
，
∴
，
∵
的面积为5，∴
，∴
，
代入抛物线解析式得，
，解得
，
，∴
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得：
，
∴直线
的解析式为
．
(2)过点
作
轴交
于
，如图，设
，则
，
∴
，
∴
，
，
∴当
时，
的面积有最大值，最大值是
，此时
点坐标为
．
(3)作
关于
轴的对称点
，连接
交
轴于点
，过点
作
于点
，交
轴于点
，
∵
，
，
∴
，
，∴
，
∵
，
∴
，∴
，
∵
、
关于
轴对称，∴
，
∴
，此时
最小，
∵
，
，
∴
，
∴
．
∴
的最小值是3．
【点睛】
主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的*质、相似三角形的判定与*质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的*质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的*质求解；解（3）题的关键是作
关于
轴的对称点
，灵活应用对称的*质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求
的最小值转化为求
的长度．
知识点：二次函数的图象和*质
题型：解答题
