已知函数f(x)=x2+bx2+cx+1在区间(-∞,-2]上单调递增,在区间[-2,2]上单调递减,且b≥0...
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已知函数f(x)=x2+bx2+cx+1在区间(-∞,-2]上单调递增,在区间[-2,2]上单调递减,且b≥0.
(1)求f(x)的表达式;
(2)设0<m≤2,若对任意的x′、x″∈[m-2,m],不等式|f(x′)-f(x″)|≤16m恒成立,求实数m的最小值.
【回答】
解:(1)f(x)=x3+bx2+cx+1,f′(x)=3x2+2bx+c.
∵f(x)在区间(-∞,-2]上单调递增,在区间[-2,2]上单调递减,
∴方程f′(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根xx2,且x1=-2,x2≥2,
∵x1+x2=,x1x2=,
∴x2=+2,∴+2≥2,
∴b≤0.∵已知b≥0,∴b=0,
∴x2=2,c=-12,∴f(x)=x3-12x+1.
(2)对任意的x′、x″∈[m-2,m],不等式|f(x′)-f(x″)|≤16m恒成立,等价于在区间[m-2,m]上,[f(x)]max-[f(x)]min≤16m.
f(x)=x3-12x+1,f′(x)=3x2-12.
由f′(x)=3x2-12<0,解得-2<x<2.
∴f(x)的减区间为[-2,2]
∵0<m≤2,∴[m-2,m][-2,2].∴f(x)在区间[m-2,m]上单调递减,
在区间[m-2,m]上,[f(x)]max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,
[f(x)]min=f(m)=m3-12m+1,
[f(x)]max-[f(x)]min=[(m-2)3-12(m-2)+1]-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16,
∵[f(x)]max-[f(x)]min≤16m,
∴-6m2+12m+16≤16m,3m2+2m-8≥0,
解得m≤-2,或m≥.
∵0<m≤2,∴mmin=.
知识点:导数及其应用
题型:解答题