）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封...
问题详情：
）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标
【回答】
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，进而建立方程2m=4﹣4m2，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理求出AD=
，同理：CD=
，BC=
，再分两种情况：
①如图1，当△DBC∽△DAE时，得出
，进而求出DE=
，即可得出E（0，﹣
），
再判断出△DEF∽△DAO，得出
，求出DF=
，EF=
，再用面积法求出E'M=
，即可得出结论；
②如图2，当△DBC∽△ADE时，得出
，求出AE=
，
当E在直线AD左侧时，先利用勾股定理求出PA=
，PO=
，进而得出PE=
，再判断出
即可得出点E坐标，当E'在直线DA右侧时，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1=kx2+m（k＜0）的图象上，
∴
，
∴
，
∴二次函数解析式为y1=﹣x2+1，
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2=ax2+b（a＞0）的图象上，
∴
，
∴
，
∴二次函数y2=3x2﹣3；
（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一点，
∴MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，
由抛物线的对称*知，若有内接正方形，
∴2m=4﹣4m2，
∴m=
或m=
（舍），
∵0＜
＜1，
∴存在内接正方形，此时其边长为
；
（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，
∴AD=
=
，
同理：CD=
，
在Rt△BOC中，OB=OC=1，
∴BC=
=
，
①如图1，当△DBC∽△DAE时，
∵∠CDB=∠ADO，
∴在y轴上存在E，由
，
∴
，
∴DE=
，
∵D（0，﹣3），
∴E（0，﹣
），
由对称*知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA对称，
∴DF垂直平分线EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴
，
∴
，
∴DF=
，EF=
，
∵S△DEE'=
DE•E'M=EF×DF=
，
∴E'M=
，
∵DE'=DE=
，
在Rt△DE'M中，DM=
=2，
∴OM=1，
∴E'（
，﹣1），
②如图2，
当△DBC∽△ADE时，有∠BDC=∠DAE，
，
∴
，
∴AE=
，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，
∴PD=PA，
设PD=n，
∴PO=3﹣n，PA=n，
在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，
∴n2=（3﹣n）2+1，
∴n=
，
∴PA=
，PO=
，
∵AE=
，
∴PE=
，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴
，
∴OQ=
，
∵
，
∴QE=2，
∴E（﹣
，﹣2），
当E'在直线DA右侧时，
根据勾股定理得，AE=
=
，
∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，
∴∠BDA=∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，﹣
），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，﹣
）或（
，﹣1）或（1，﹣
）或（﹣
，﹣2）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和*质，对称*，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．
知识点：各地中考
题型：解答题
