在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．（1）若a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=...

问题详情：

在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．

（1）若a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0．

①求a、b的值；

②如图1，在①的条件下，第一象限内以AB为斜边作等腰Rt△ABC，请求四边形AOBC的面积S；

（2）如图2，若将线段AB沿x轴向正方向移动a个单位得到线段DE（D对应A，E对应B）连接DO，作EF⊥DO于F，连接AF、BF，判断AF与BF的关系，并说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）①∵a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，

∴（a﹣4）2+（b﹣2）2=0，

∴a=4，b=2；

②∵A（0，4），B（2，0），

∴AB==2，[来源:]

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC=，[来源:学*科*网]

∴四边形AOBC的面积S=×OA×OB+×AC×BC=4+5=9；

（2）结论：FA=FB，FA⊥FB，理由如下：

如图2，作FG⊥y轴，FH⊥x轴垂足分别为G、H，

∵A（0，a）向右平移a个单位到D，

∴点D坐标为（a，a），点E坐标为（a+b，0），

∴∠DOE=45°，[来源:学#科#网]

∵EF⊥OD，

∴∠OFE=90°，∠FOE=∠FEO=45°，

∴FO=EF，

∴FH=OH=HE=（a+b），

∴点F坐标为（，），

∴FG=FH，四边形FHOG是正方形，

∴OG=FH=，∠GFH=90°，

∴AG=AO﹣OG=a﹣=，BH=OH﹣OB=﹣b=，

∴AG=BH，

在△AFG和△BFH中，

，

∴△AFG≌△BFH，

∴FA=FB，∠AFG=∠BFH，

∴∠AFB=∠AFG+∠BFG=∠BFH+∠BFG=90°，

∴FA=FB，FA⊥FB．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题