已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求...
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已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为
． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求*：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形
【回答】
解：（Ⅰ）由题意可得
，解得a2=6，b2=3， 故椭圆C的方程为
+
=1， *（Ⅱ）：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为-k， 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为y+1=k（x-2），即y=kx+1-2k 联立
，得（1+2k2）x2+4（k-2k2）x+8k2-8k-4=0． ∴2x1=
，即x1=
设直线PB的方程为y+1=-k（x-2），同理求得x2=
∴x2-x1=-
∴y1-y2=k（x1+x2）+2-4k=
， ∴直线AB的斜率kAB=
=1， 易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0， ∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形 【解析】
（Ⅰ）由题意可得
，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求； （Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得*． 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
