如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度...
来源：语文精选馆 1.97W
问题详情：
如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=
．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．
（1）求cosA的值；
（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=
S△QCN时，求t的值；
（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【回答】
解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．
∵S△ABC=
•AC•BE=
，∴BE=
．在Rt△ABE中，AE=
=6，∴coaA=
=
=
．
（2）如图2中，作PH⊥AC于H．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2．
∵S△PQM=
S△QCN，∴
•PQ2=
×
•CQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=
×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（舍弃）或
，∴当t=
时，满足S△PQM=
S△QCN．
（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．
易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=
HQ，∴3t=
（9﹣9t），∴t=
．
②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得PH=
QH，∴3t=
（9t﹣9），∴t=
．
综上所述：当t=
s或
s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
知识点：各地中考
题型：综合题
