已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球（与四个面都相切）的表面积为（  ）A.    B.  ...

问题详情：

已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球（与四个面都相切）的表面积为（   ）

A.     B.     C.     D.

【回答】

B

【解析】

【分析】

过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的表面积．

【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，

连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，

∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．

∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，

∴=

∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,

∴S△ABC=×（12）2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．

∴S表=108.

设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，

∵PD=6，∴VP﹣ABC=•36•6=72．

则由等体积可得r==2，

∴S球=4π22=16π．

故选B.

【点睛】本题考查棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全面积和体积的求法，考查球的表面积公式，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

知识点：空间几何体

题型：选择题