某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每...

问题详情：

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

【回答】

解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2

＝0.8π，0<r≤6.

令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.

当r＝2时，f′(r)＝0.

当r∈(0,2)时，f′(r)<0；

当r∈(2,6)时，f′(r)>0.

因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．

∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

半径为6 cm时，利润最大．

知识点：导数及其应用

题型：解答题