.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④...
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问题详情：
.若函数
在其图象上存在不同的两点
，其坐标满足条件：
的最大值为0，则称
为“柯西函数”，则下列函数：①
；②
；③
；④
．
其中为“柯西函数”的个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【回答】
B
【解析】
【分析】
由柯西不等式得对任意的实数
都有
≤0，
当且仅当
时取等，此时
即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数
f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线
过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.
【详解】由柯西不等式得对任意的实数
都有
≤0，
当且仅当
时取等，此时
即A,O,B三点共线，
结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数
f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线
过原点直线与f(x)有两个交点.
①
,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，
，所以
（x＞0），此时仅有一个交点，所以
不是柯西函数；
②
，曲线
过原点的切线为
，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数
不是；
③
；④
．显然都是柯西函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
知识点：*与函数的概念
题型：选择题
